双曲线的方程(双曲线方程推导过程)
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双曲线的方程(双曲线方程推导过程)
06-28

Q:

为什么椭圆的方程和双曲线的方程长的一模一样?

A:

这个问题,要从椭圆和双曲线的定义及曲线方程的推导过程上去研究;

先看定义:

椭圆:

平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

椭圆点的集合M={M||MF1|+|MF2|=2a}(其中|F1F2|=2c)

双曲线:

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距(2c).

双曲线点的集合M={M||MF1|-|MF2|=2a} (其中|F1F2|=2c)

下面,我们对比一下方程的推导过程,下面采用的是不同于教材的推导方法。

黑色为椭圆,对应的蓝色为双曲线,红色为有区别的地方。

过程不长,共九步:

取过定点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy。

从上面的推导过程我们可以看出,导致椭圆和双曲线方程长的一样的原因在于第3步和第6步的两次平方。

经过两次平方,这个推导过程实际上只是证明了曲线上的点都满足方程,但方程的解一定是曲线上的点吗?

从这个证明过程来看,并不一定。

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